Compromiso

El conocimiento es uno de los pocos bienes que crece a medida que se comparte y se somete a la discusión abierta

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La enseñanza de las matemáticas no tiene el monopolio ni del pensamiento racional, ni de la lógica, ni de ninguna verdad intelectual, pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz

Guy Brousseau

¡No pedagogismos, sino inspiraciones de la vida. Las necesidades del pueblo son los fines de la educación

Cartel en la Escuela Normal Rural de Tacámbaro, México

Mejorar la Enseñanza de las matemáticas no es tarea de un profesor, sino de una Comunidad Educativa

CLAME


Primaria

ANÁLISIS DEL TRATAMIENTO DE LA ARITMÉTICA EN LOS LIBROS DE MATEMÁTICA DE LA COLECCIÓN BICENTENARIO

Ana Duarte Castillo
Ángel Míguez Álvarez
Universidad Nacional Abierta
Caracas - Venezuela


Introducción
Enseñar aritmética a niños de siete años o más, requiere de varios conocimientos. Primero, el conocimiento matemático de lo que se quiere enseñar, este conocimiento debe tener cierta profundidad que lleve a la maestra, entre otras tantas cosas, a comprender las definiciones matemáticas de las operaciones aritméticas.
Segundo, se hace necesario tener un conocimiento didáctico sobre el contenido a enseñar, tal como lo señala Shulman (2005). ¿Cómo enseñar las operaciones? ¿A pares?, la adición y la sustracción de manera simultánea para que el alumno comprenda la noción algebraica de una operación y su inversa. Mostrar las diversas formas de representación de los sistemas numéricos, el uso de materiales concretos, la presentación de problemas tanto en situaciones reales como abstractas.
Tercero, se debe preparar la puesta en escena dentro del aula, para el performance que requiere una clase, el momento de la verdad de los toreros, pero frente a los alumnos. La maestra debe conocer cómo diseñar la Unidad de Enseñanza. Para ello, la maestra debe preparase, indagar, revisar el libro, consultar a la colega y con la práctica ir diseñando la mejor clase posible.
En nuestro contexto, el Estado Venezolano le entrega a los niños un libro de texto de Matemática y sentimos que se le debe presentar a las maestras una herramienta que le permita clasificar los ejercicios, las preguntas y los problemas que el libro presenta con miras a planear su enseñanza y complementar lo planteado por el libro con actividades diversas que enriquezcan el proceso que se da en la clase de matemática.
Para ello, utilizamos el modelo de caracterización propuesto por Alson (2000) denominado Situaciones de Producción, para hacer un Análisis de Contenido, intensivo, temático por categorías, tal como lo define Campenhoudt (2001), de los ejercicios y problemas presentes en el libro.
Alson (2000), caracteriza todas las actividades propuestas en una lección de matemática, en cuatro Situaciones de Producción distintas, referidas a lo que se le solicita al alumno que haga en cada una de ellas.
Esta caracterización lleva a una clasificación de las actividades propuestas en el libro, con base en el análisis de contenido realizado. Esto lo hacemos, con la intensión de identificar las categorías presentes en las actividades del área de aritmética presentadas en el libro; para luego proponer las actividades referidas a las categorías faltantes, si fuese el caso o para diseñar o buscar actividades complementarias que mejoren el ciclo de enseñanza con más bondades para el estudio de la aritmética por parte de los alumnos.

Situaciones de Producción
Un individuo está en una Situación de Producción si debe producir un objeto a partir de otro objeto utilizando una acción hecha por él(Alson, 2 000, p.3)
Llamaremos procedimiento a una sucesión de operaciones que permiten a partir de un objeto obtener otro(Alson, 2 000, p.2)
La Situación de Producción se simbolizará con el icono:  el Procedimiento lo simbolizaremos por el icono: 

·         Situación de Producción Algorítmica

Una Situación de Producción es Algorítmica cuando al individuo se le presenta un objetoorigenA y un procedimiento y su acción consiste en obtener el objetoresultadoB.
(A  ) (B)
Por ejemplo:
Dados los números 2, 3 y la operación adición +, la acción de producción es obtener la suma, es decir, el número 5
(2+3=) (5)

·         Situación de Producción Significante

Una Situación de Producción es Significante cuando al individuo se le presenta un procedimiento y un objetoresultadoB y su acción consiste en obtener el objetoorigenA.
 B) (A)
Por ejemplo:
Dada la suma, el número 7, y la operación adición +, la acción de producción es obtener los sumandos, es decir, un par de números cuya suma sea 7
(_+_= 7) (1,6) o (2,5) o (0,7)...

·         Situación de Producción de Interpretación

Una Situación de Producción es de Interpretación cuando al individuo se le presenta un objetoresultadoB y su acción consiste en obtener el objetoorigenA y el procedimiento asociado para obtener el objetoresultadoB
(B) (A  )
Por ejemplo:
Dado un intervalo en la recta real, la acción de producción es obtener una inecuación cuyo resultado sea dicho intervalo
 (x+30  )
donde à es el procedimiento para hallar la solución de una inecuación
Esto es una Interpretación que se le da al intervalo . Otra posible interpretación es:

donde es el procedimiento para hallar el dominio de la función

·         Situación de Producción de Formalización

Una Situación de Producción es de Formalización cuando al individuo se le presenta un objetoorigenA y su acción consiste en obtener un procedimiento que permita obtener el objetoresultadoB
(A) ( B)
Por ejemplo:
Sabiendo que una cuerda es el segmento que une a dos puntos diferentes de una circunferencia y que el diámetro es la denominación de la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el diámetro d de una circunferencia si su radio r mide 12 cm?
Con base en lo estudiado el alumno debe determinar que el diámetro es equivalente a dos radios, es decir (à), de aquí se tiene que:
(r)  (d)]
(12)  (24)]
En este caso à viene dado por la relación d = 2r

Colección Bicentenario
La colección Bicentenaria es el nombre que recibe el grupo de libros de texto (Matemática, Lengua, Ciencias Naturales y Ciencias Sociales) editados por el gobierno venezolano, a través del Ministerio del Poder Popular para la Educación como uno de los muchos programas sociales que han sido impulsados en la República Bolivariana de Venezuela en los últimos años. Estos Libros de texto están dirigidos a estudiantes de Educación Primaria (7 años12 años) y son cónsonos con el proceso de transformación social descrito en la Ley Orgánica de Educación (2009). Este tipo de material curricular, el libro de texto, representa uno de los elementos del currículo que posee mayor incidencia en el proceso de enseñanza, tanto de las matemáticas como de otras disciplinas escolares. (Serrano, 2009; Parcerisa, 1996). En cuanto a los libros de Matemática, tenemos que uno de los fines de la educación establecidos en la Ley Orgánica de Educación (2009), de la República Bolivariana de Venezuela, estableceDesarrollar la capacidad de abstracción y el pensamiento crítico mediante la formación en filosofía, lógica y matemáticas, con métodos innovadores que privilegien el aprendizaje desde la cotidianidad y la experiencia.
La concepción, tanto pedagógica como didáctica que acompañan los libros de matemática hace referencia a una educación productiva, intercultural e intracultural, disciplinaria, intradisciplinaria e interdisciplinaria, liberadora, emancipadora, revolucionaria, comunitaria, antiimperialista, participativa, colaborativa, investigativa y activa. Esto, con el fin de romper con la educación matemática tradicional ubicada en el paradigma del ejercicio (Skosvmose, 2010). En donde, los ejercicios que se resuelven en la clase carece de relevancia y de contexto y que además hay una sola respuesta correcta. Se pretende aproximarse a lo señalado por el autor como los escenarios de investigación.
Ese esfuerzo se puede ver en la presentación de la colección que puede ser revisada en: http://www.me.gob.ve/coleccion_bicentenario/index.php
La Aritmética en el libroContemos 1. 2. 3 y 4
De las 18 lecciones que contiene el libro de primer grado, la mitad están referidas a la aritmética, la distribución es la siguiente:

Área / Tema
Nombre Lección
Contenido Matemático
2
Aritmética / Relaciones de cantidad
Colecciones
Relaciones comomás que,menos que,tanto comoeigual a. Uso de cuantificadores como:mucho,poco
3
Aritmética / Introducción a los números naturales
Los Números
Relación colecciones-números. Lectura y escritura de los números. Significado y uso de los números
4
Aritmética / Valor de posición
Contando de diez en diez
Unidad, decena y centena
5
Aritmética / Números ordinales
Orden y ordeno
Los números ordinales. Series ascendentes y descendentes
6
Aritmética / Series numéricas
De ida y vuelta
Series numéricas ascendentes y descendentes
7
Aritmética / Adición
¡A sumar!
Elementos de la adición
8
Aritmética / Sustracción
¡A restar!
Elementos de la sustracción
9
Aritmética / El número cero
El número cero
Adición y sustracción con el cero
10
Aritmética / Adición y sustracción
¿Problemas a mí?
Resolución de problemas combinados

Clasificación de las Situaciones de Producción en las lecciones

Nombre Lección
Situaciones de Producción


Algorítmicas
Significativas
Interpretación
Formalización
2
Colecciones
5
2
1
2
3
Los Números
3
6
0
0
4
Contando de diez en diez
13
0
0
0
5
Orden y ordeno
5
0
2
0
6
De ida y vuelta
18
0
1
0
7
¡A sumar!
3
3
2
1
8
¡A restar!
13
0
1
0
9
El número cero
3
0
1
0
10
¿Problemas a mí?
7
12
0
0
Total
70
24
8
3
%
66,67
22,86
7,62
2,86
Ejemplos que ilustran las Situaciones de Producción presentes en el libro de primer grado
  •     Algorítmica [(A  ) (B)]
Si tuvieses 20 semillas, ¿cuántas decenas de semillas tendrías? (Lección 4: Contando de diez en diez; pág. 55)

  •     Significativa [ B) (A)]
Completa en tu cuaderno:
__________ 8 (Lección 3: Los números; pág. 39)
[En esta actividad se espera que el niño o la niña escriba en letras el nombre del número indicado y que dibuje una colección de objetos con el número de elementos indicado]

  •     Interpretación [(B) (A )]
¿Si estas participando en una carrera y adelantas al segundo, en qué posición estás ahora? (Lección 5: Orden y ordeno; pág. 59)

  •      Formalización [(A) ( B)]
¿Cómo podemos saber dónde hay más elementos? (Lección 2: colecciones; pág. 21)
[En esta actividad se espera que el niño o la niña describa un método para saber en cuál conjunto o colección hay más elementos]

Análisis de las lecciones
Alson (2000) señala que en el proceso de enseñanza, las Situaciones de Producción algorítmicas deberían ser, al menos, la mitad de las Situaciones de Producción propuestas en los libros, con el fin de que el alumno comprenda el concepto y/o procedimiento enseñado por primera vez.
Al revisar las lecciones de aritmética del libro de primer grado de la colección bicentenario podemos observar que en general, las lecciones vistas como un todo se acercan a lo señalado por el autor.
Sin embargo, al revisar lección por lección, nos encontramos con una preponderancia de las Situaciones de Producción Algorítmicas, salvo en las lecciones 3, 7 y 10.
En el caso de la lección 3, Los Números, se hace énfasis en Situaciones de Producción significativas, dado que esta noción, identificar el nombre, el símbolo de un número y la cardinalidad de una colección es un concepto que se viene trabajando desde la educación inicial (06 años) y en esta lección se espera una comprensión mayor y un dominio suficiente por parte del niño o niña en primer grado (7 años).
En el caso de la lección 7, ¡A sumar!, hay igual número de Situaciones de Producción Algorítmicas y Significantes. Es en este grado en el que se enseña por vez primera el algoritmo de la adición, más la noción dejuntardos conjuntos o colecciones es trabajado en la Educación Inicial y existe un apresto a la operación de adición por lo que no es descabellado presentarle a la niña o niño de primer grado actividades significativas como las presentadas en esta lección.
Veamos un ejemplo de una Situación de Producción Significativa presentada en esta lección (pág. 72):
Cinco más ____ es igual a = 11
5 + ____ = 11
En el caso de la lección 10, ¿Problemas a mí?, hay un mayor número de Situaciones de Producción Significativas (12) que Algorítmicas (7), esto es debido a que es una lección de cierre, consolidación o síntesis de lo estudiado en las lecciones anteriores. En esta lección se hace énfasis en la comprensión de la operación de adición.
Identificamos tres tipos de lecciones de aritmética en este libro, lecciones para introducir temas, lecciones para continuar estudiando temas vistos o estudiados previamente y lecciones para consolidar y sintetizar lo ya estudiado.

Sugerencias Pedagógicas
La maestra, a la hora de hacer el análisis pedagógico para planificar sus actividades de aula, debe identificar el tipo de lección que va a trabajar y con base en ello y las situaciones de producción que aparecen en el libro determinar si es necesario incorporar nuevas situaciones para enriquecer el proceso de enseñanza de los estudiantes.
1.  En la lección 4, Contando de diez en diez, los estudiantes deben conocer y comprender el cartel de valores y las reglas para su uso, por primera vez. La maestra debe comprender la importancia del uso del carel de valores, dado que el mismo está presente en las lecciones de los libros de los años posteriores en los temas referidos a numeración, adición, sustracción y multiplicación.
Es recomendable, en este nivel educativo, usar material manipulable para comprender el uso del cartel de valores.
Un primer cartel de valores debe usarse con objetos manipulables con miras a conocer su uso y para la comprensión del sistema de numeración posicional.
Luego, el estudiante deberá usar el cartel de valores escribiéndolo en su cuaderno y usando los números para la comprensión del sistema de numeración posicional y las reglas de la adición.
2.  Una actividad interesante para desarrollar, consolidar el dominio del sistema de numeración posicional es la de solicitar al estudiante escribir números que tengan determinada cifra en diferentes valores posicionales y el de presentarles números y preguntar sobre el valor posicional de determinada cifra presente en dicho número.
Por ejemplo:
Escriba un número decifras que tenga el 5 en la posición de la decena.
Diga el valor de la cifra 7 en los siguientes números: 607; 74; 766
3.  Se deben colocar ejercicios, de verbalización, de números escritos en el cartel de valores con el fin de nombrar las cantidades según la posición ocupada.
Por ejemplo:

C
D
U
Se debe leer como cuarenta y cinco decenas
4
5
0

C
D
U
Se debe leer como cuarenta y cinco unidades

4
5

En grados posteriores, o a juicio de la maestra, se debe promover la lectura de cantidades sin el uso del cartel de valores.
4.    La lección 6, De ida y vuelta, propone situaciones algorítmicas referidas a colecciones de objetos. Esto se puede complementar con seriaciones ideográficas, geométricas o de otro tipo que promuevan la abstracción en la identificación de la prosecución numérica.
Por ejemplo:




Otros ejemplos:
2, 4, 6, 8,
12, 9, 6,
5.  La adición y la sustracción son operaciones inversas [5+3=8; 8-5=3]
Entender la adición y la sustracción como operaciones inversas desde un comienzo tiene grandes frutos en la comprensión de las operaciones aritméticas y de ideas importantes dentro de la matemática.
Una actividad que puede complementar la comprensión de lo estudiado en las lecciones 7, ¡A sumar! y 8, ¡A restar! Es la de plantear la adición y la sustracción de manera simultánea.
Por ejemplo:

Adición

Sustracción
5
+
3
=


8
-
5
=

7
+

=
15

15
-

=
7
16
+
9
=



-
16
=
9

+
6
=
10

10
-

=
6

+

=
21

21
-

=

Con base en esta tabla, que puede ser con más ejercicios que los que acá proponemos, se le puede preguntar a los estudiantes: ¿cómo podemos comprobar si una suma es el resultado correcto? ¿Cómo podemos comprobar si una resta es el resultado correcto?
Otro ejemplo:
Usar la recta numérica para trabajar la misma idea de operación directa y operación inversa (adición y sustracción).
Es por muchos conocido el salto de la rana, veamos:

Consideraciones Finales
El libro de texto que tienen a su disposición los niños dentro del aula de matemática marca el rumbo de la clase, más está en manos de cada maestra el enriquecer, complementar y consolidar las propuestas pedagógicas que en él aparece.
La maestra, al hacer su análisis pedagógico para diseñar su unidad de enseñanza, su clase, deben describir cómo debe ser el transitar del estudiante por la lección sobre el tema seleccionado, desde qué debe conocer, las habilidades que debe desarrollar, las posibles dificultades a superar y cómo superarlas y la contribución de la actividad de enseñanza en el aula a las destrezas y conocimiento matemático global del estudiante.
Además, es necesario que diseñen, analicen y seleccionen los materiales y las tareas que constituirán las actividades de enseñanza en el aula.
Nuestra propuesta, con este estudio realizado, es que la determinación de las Situaciones de Producción presentes en cada una de las lecciones del libro nos ayudará a decidir cómo lograr una mejor enseñanza en el aula.
Lo que mostramos acá, es nuestra propuesta de trabajo para las educadoras que día a día reflexionan y buscan una mejor forma de enseñar. Las Situaciones de Producción propuestas por el Profesor Pedro Alson se convierten en una herramienta de apoyo para la planificación y diseño de la clase, para el enriquecimiento del proceso de enseñanza y para guiar la actividad de estudio y ejercitación de los estudiantes de matemáticas en la educación básica.
El compartir la Unidad diseñada con tus colegas y la evaluación de los logros alcanzados en su uso serán el colofón adecuado, de esta propuesta, para el esfuerzo que debe repetirse hasta lograr una enseñanza tan buena que garantice la comprensión de todos nuestros estudiantes.

Referencias

Alson, P. (2 000). Eléments pour une théorie de la signification en didactique des mathématiques. Tesis de Doctorado presentada en la Universidad Bordeaux 1, Escuela Doctoral de MatemáticasInformática. Francia.
          
Campenhoudt, Q. (2001). Manual de Investigación en Ciencias Sociales. LIMUSA: México.

Duarte, A. y Bustamante, K. (2 012). Colección Bicentenario: Una mirada desde los libros de matemática. XXVI Relme, Belo Horizonte. Brasil.

Ley Orgánica de Educación, 5929, Gaceta Oficial de la República Bolivariana de Venezuela  (2009)

Moya A. y Otros. (2011). Contemos 1, 2, 3 y 4 - Libro de Matemática primer grado. Proyecto Leer. Editado por el Ministerio del Poder Popular para la Educación. ISBN: 978-980-218-293-0

Parcerisa (2007) Materiales curriculares. Cómo elaborarlos, seleccionarlos y usarlos. Barcelona: Grao.

Schubring, G. (1987) On the methodology of Analysing Historical Textbooks: Lacroixas Textbook Author. For the learning of mathematics, 7(3),  41-51.

Serrano, W. (2009). Las Actividades Matemáticas, el saber y los libros de textos. Bolivia-Venezuela: Fondo Editorial Ipasme.

Shulman,  L. (2005) Conocimientos y Enseñanza: Fundamentos de la nueva reforma Profesorado. Revista de currículum y formación del profesorado,  9 (2), 1-30


Skovsmose, O. (2000) Escenarios de Investigación. Revista EMA, 6(1), 3-26

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2 comentarios:

  1. La matemática trabajada desde la experiencia directa de los estudiantes hace sostenible el aprendizaje, elconcepto de número se desarrolla en el proceso de la manipulación, clasificación, seriación y el mismo conteo.
    Es una gran oportunioda el aporte que hace para trabajar en aula.
    Agradezco sobre el envio de su libro, pues ya tengo instalado el DROPBOX. Soy de Apurímac- Abancay- Perú

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  2. ¡Hola Ernesto!

    Sigue las instrucciones o envia un correo-e a leeryescribirconmat@gmail.com y te enviaremos el enlace.

    Gracias por escribir.

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