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Guy Brousseau

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Mejorar la Enseñanza de las matemáticas no es tarea de un profesor, sino de una Comunidad Educativa

CLAME


domingo, 4 de septiembre de 2011

Esbozo Histórico de la Simbología Matemática (Parte I y II) (*)



Walter Beyer
Universidad Nacional Abierta

El desarrollo histórico de símbolos especiales para denotar objetos, relaciones y estructuras matemáticas siguió un largo camino. El caso del álgebra, la cual pasó por tres etapas bien diferenciadas: álgebra retórica, álgebra sincopada y álgebra simbólica, es una buena muestra de ello.

Esta evolución del álgebra tiene similitud con la de la escritura: desde la escritura pictórica, pasando por la escritura pictográfica-ideográfica y la fonética hasta llegar a la escritura alfabética.

Es curioso, pero el desarrollo de los numerales indo-arábigos guarda una estrecha similitud con el de la escritura. Esto no es totalmente casual ya que los alfabetos fueron empleados por diferentes culturas, en determinados momentos, para simbolizar a los números.

Johann Widman (1460?-1500) fue el primero en usar, en 1489, los símbolos en un texto impreso, los cuales fueron popularizados por Michael Stifel (1487-1567). Ya dichos símbolos habían sido usados con anterioridad en algunos manuscritos. Se supone que el símbolo “+” es una contracción de la palabra latina “et”.

Por otra parte, Recorde inventó nuestro actual símbolo de igualdad el cual aparece, por vez primera, en su obra Whetstone of Witte (1557). Tal vez, la preferencia de Leibniz por el símbolo “=” sobre otros símbolos rivales cambió el fiel de la balanza a favor de su utilización.

Otros símbolos de uso común, los signos de desigualdad: < y >, aparecieron por vez primera en el libro Artis Analyticae Praxis, obra publicada en 1631, diez años después de la muerte de su autor, el matemático inglés Thomas Harriot (1560-1621). Estos símbolos se impusieron sobre otros que se usaban para esos fines, entre ellos unos debidos a William Oughtred (1575-1660) y que aparecieron impresos por primera vez en 1647. Oughtred usó los signos de desigualdad propuestos por Harriot. Por su parte se le debe al matemático francés Bouguer en 1734 la introducción de los símbolos < y >.

A Oughtred se le atribuye el uso de una equis pequeña “x” para indicar la operación de multiplicación, en lugar de una equis grande que ya era usada con esa finalidad y cuyo origen no se conoce con exactitud.

En lo relativo al símbolo “ / ”, éste parece que ya era usado por los comerciantes lombardos con el significado de 1/2; tuvo un amplio uso como símbolo de sustracción, y finalmente fue propuesto por el suizo Johann Rahn (1622-1676) como símbolo de división, apareciendo impreso por primera vez con este sentido en su obra Teutsche Algebra, en 1659. Este signo fue ampliamente adoptado en Inglaterra, mientras que los matemáticos continentales preferían el signo “:”. Para la división larga Stifel empleó en 1544 el símbolo “)”, mientras que Oughtred escribía 8)24(3 para la división de 24 entre 3.

Un hito en la simbolización matemática lo constituye la invención del cero por parte de los hindúes. Lo indicaban mediante un punto y su conocimiento llegó a Europa por intermedio de los árabes.

Independientemente, este invento fue hecho por la civilización Maya siendo empleado en su sistema de numeración posicional de base 20.

Por su parte el desarrollo del álgebra ha tenido sus avances y retrocesos: avances como el uso del álgebra sincopada por parte de los hindúes y de Diofanto; retroceso con los árabes que retornaron, prácticamente, al álgebra retórica. Un avance lo constituyó el uso del símbolo 
para las fracciones, dándose marcha atrás al usar -por razones tipográficas- el símbolo a/b.

En este ir y venir aparecen los numerales indo-arábigos introducidos en Europa por los árabes y difundidos ampliamente por Leonardo de Pisa "Fibonacci" (1175-1250 ?) a través de su obra Liber Abaci.

Respecto del punto decimal Kasner y Newman le atribuyen a Napier su invención; mientras que otros autores le conceden el crédito a Stevin e incluso hay el que dice que es a Leibniz a quien se le debe esta notación.

Descartes en 1637 resolvió el problema de escribir potencias al usar x, xx, x3, x4, x5, ... (obsérvese que siguió escribiendo xx en lugar de x2. Gauss mantuvo esta costumbre porque ambas formas ocupan el mismo espacio: dos caracteres). Esta notación se perfecciona en 1655 con Wallis quien escribe x-n para denotar 1/xn y x1/n para representar 

Euler (1707-1783) emplea en 1731 en una carta dirigida a Goldbach el símbolo e -inicial de la palabra exponencial- para denotar la base de los logaritmos neperianos, apareciendo impreso este símbolo por vez primera en su obra Mechanica en 1736. Asimismo, se le debe a este insigne matemático la introducción, en 1777, de la letra i para simbolizar a la unidad imaginaria, aunque con anterioridad la usara para simbolizar el infinito. Este símbolo fue adoptado por Gauss quien lo difundió.

En este proceso surge el uso del símbolo π -inicial de la palabra griega perimetroz (perímetro)- para denotar la razón constante entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. William Jones (1675-1749) parece ser que fue el primero en usarlo con ese fin. Sin embargo fue Euler quien lo adoptó en 1737 y popularizó su uso.

Cabe destacar que la invención de la imprenta de tipos móviles por Gutenberg en 1440 ejerció un impacto significativo sobre la evolución del simbolismo matemático: por una parte lo estandarizó y por otra parte se convirtió en una especie de "camisa de fuerza" para la inventiva y la creatividad al negarse los impresores -en determinados momentos- a crear tipos especiales para satisfacer el deseo de los matemáticos.

Algo semejante a lo señalado en el párrafo anterior pudiera estar ocurriendo hoy día con el impacto que tiene el ordenador sobre todas las áreas de la sociedad actual -impacto ampliamente explicado por autores como Alvin Toffler en su "Tercera Ola"- el cual tiene sus inmediatas repercusiones en la notación matemática.

Una consecuencia, que salta a la vista, es el hoy difundido uso -en los países hispanohablantes- del punto decimal en lugar de la coma decimal como era costumbre, uso que ha sido potenciado por la masiva utilización de las calculadoras de bolsillo.


(*) Este artículo fue publicado en dos partes por el Boletin EM de ASOVEMAT – RC en el año 1 996. La primera parte en el N° 1 de enero de 1 996 y la segunda parte en el N° 2 de febrero de 1 996

Una experiencia de negociación de significados (*)


 
Ángel Míguez
Universidad Nacional Abierta

Al diseñar las actividades de aprendizaje para los Números Enteros en 7° grado de Educación Básica (12 años aproximadamente) Míguez y Becerra (1 988) partían, en forma empírica, de una de las fuentes de error de los alumnos al realizar las operaciones con números enteros, a saber, la confusión que se presentaba con el uso de los símbolos ‘más’ (+) y ‘menos’ (-) para indicar el signo del número y la introducción de los números negativos en las operaciones de adición y sustracción.

Partiendo de que las convenciones y los convenios que se usan en la clase de matemática no deben ser contradictorios con los de esta ciencia se propuso un conjunto de actividades que permitieran la construcción de un significado común para el símbolo + (cruz) y el símbolo – (guión); pero cuando decimos ‘en común’, el proceso se guió de la siguiente manera, primero debería surgir un acuerdo entre los estudiantes en las discusiones desarrolladas y al final se apelaba al carácter universal de los símbolos matemáticos para asumir el acuerdo definitivo.

La experiencia planteaba situaciones plausibles, que eran susceptibles de simbolización: calor-frío, altura-profundidad, aumentar-disminuir, subir-bajar, crédito-débito. Primero se les pidió a los estudiantes que crearan un símbolo para cada una de las situaciones, luego se les pidió que acordaran un símbolo para cada una de las situaciones, para finalizar se les solicitó crear un símbolo único para usarlo en las cinco situaciones planteadas. En cuatro de las seis aulas se llegó al acuerdo de usar la cruz y el guión, la cruz para temperaturas calientes, alturas, aumentar de peso, subir pisos, tener dinero y el guión para las temperaturas frías, profundidades, disminuir de peso, bajar pisos, deber dinero.

Todas las situaciones usaban números acompañados del símbolo correspondiente a cada situación planteada. Por ejemplo: +3 pisos, para indicar que se subieran tres pisos; -10 Kg., para indicar que se disminuyeran diez kilogramos. Una vez alcanzados los acuerdos se presentaron los números positivos como los asociados a temperaturas calientes, alturas, aumentar de peso, subir pisos, tener dinero y los números negativos como aquellos asociados a las temperaturas frías, profundidades, disminuir de peso, bajar pisos, deber dinero, señalando que al igual que en los casos estudiados, la matemática usa los números positivos (la cruz asociada al numeral) y negativos (el guión asociado al numeral) para referirse a situaciones similares a las anteriores y de forma abstracta.

En las aulas en las que los acuerdos eran distintos a la cruz y al guión, basándonos en el hecho de que el proceso de comunicación se apoya en la negociación y los significados compartidos, se apeló a la “universalidad” de la matemática correspondiente a los símbolos que se utilizan para matematizar situaciones como las planteadas. La transición fue aceptada, aunque no se dejó de criticar, por parte de los estudiantes, lo conveniente que resultaban, para las situaciones estudiadas, los símbolos escogidos por ellos.

Asumiendo que el profesor y el estudiante constituyen interactivamente la cultura del aula y que cada vez que se actúa sobre un objeto se utiliza un proceso interpretativo, se procedió a la enseñanza de las operaciones básicas, bajo la pauta de partir del conocimiento que el estudiante trae de las mismas con los números naturales, se introduce la regla de los signos y sin omitir ningún signo se procede a diferenciar los dos significados que adquieren la cruz y el guión haciendo un paralelismo con la palabras polisémicas en el castellano.

Esto permitió negociar con los estudiantes cuando una cruz indica el signo de un número o cuando indica la operación de adición. De igual manera, se procedió con el guión. Se evitaron, al principio, cualquier tipo de simplificación en la escritura de las sumas algebraicas. Por ejemplo, al escribir una suma algebraica se procedió a hacerlo así:

(+3) + (+9) – (+15) – (-5) + (-34) + (7) – (+13) =

en vez de:

3 + 9 – 15 – (-5) + (-34) + 7 – 13 =

Una vez dominado el algoritmo para el desarrollo de esta operación se apeló de nuevo a la “universalidad” de la matemática y a la necesidad de simplificar la simbología escrita, realmente se efectuaban largas e interminables sesiones de ejercitación sin obviar ningún símbolo. Porque el significado se desarrolla en la interacción e interpretación entre los miembros de una cultura, (Godino y Llinares, 2 000, pág. 3) y se aceptó que un número que no posea un símbolo que indique su signo se asume que es positivo.

Cada nuevo significado, se negociaba después de un conjunto de acciones, que en nuestro caso era la ejercitación, los significados surgían así en el contexto de los ejercicios de matemática.

La práctica desarrollada no sólo planteaba la negociación de los significados con los estudiantes, sino que se planteaba no presentar caminos abreviados que no surgieran de una necesidad compartida de abreviar o de una adecuación a la simbología más usual en los libros de matemática, incluyendo los libros de texto.

Este procedimiento permitió mejorar el rendimiento de los estudiantes en la resolución de ejercicios no contextualizados de operaciones con números enteros.


(*) Este fragmento es del artículo: “El Aula, Los Alumnos y El Profesor de Matemáticas” publicado en: Enseñanza de la Matemática, Vol. 11, N° 1, 2 003, pp 3-9