Compromiso

El conocimiento es uno de los pocos bienes que crece a medida que se comparte y se somete a la discusión abierta

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La enseñanza de las matemáticas no tiene el monopolio ni del pensamiento racional, ni de la lógica, ni de ninguna verdad intelectual, pero es un lugar privilegiado para su desarrollo precoz

Guy Brousseau

¡No pedagogismos, sino inspiraciones de la vida. Las necesidades del pueblo son los fines de la educación

Cartel en la Escuela Normal Rural de Tacámbaro, México

Mejorar la Enseñanza de las matemáticas no es tarea de un profesor, sino de una Comunidad Educativa

CLAME


sábado, 30 de octubre de 2010

¿Cómo pasa?

por A. Míguez

El tema de las ecuaciones es muy recurrido en la Tercera Etapa de la Educación Básica y en la Educación Media, de igual manera, en el desarrollo de nuestras clases, estamos habituados a escuchar la pregunta angustiada del estudiante: …pero, ¿pasa restando?

En el proceso de despeje de la incógnita en una ecuación cualquiera, de primer grado, los profesores hemos abandonado el estudio de la ecuación, sus miembros, el significado del signo igual (=) y las operaciones matemáticas que lícitamente podemos hacer sobre las ecuaciones.

Todo esto se ha sustituido por la transmisión de procedimientos y “atajos”, usando como único medio de transmisión la ejercitación.

Nos hemos olvidado de las ecuaciones equivalentes, trayendo como consecuencia que ante la ecuación:

X + 5 = 7

La resolvemos así:

X = 7 – 5

X = 2

En vez de:

X + 5 – 5 = 7 – 5

X + 0 = 2

X = 2

Funciona el atajo, el ahorrarse pasos, pero esto se hace a costa de la comprensión, instaurándose de esta manera un procedimiento mecanizado que en algunos casos genera confusión. Veamos:

-3X + 7 = 11

Los estudiantes que usan el atajo sin comprender las operaciones matemáticas que están en uso hacen lo siguiente:

-3X = 11 - 7

y verbalizan el 7 pasa restando

y preguntan ¿el tres pasa sumando?. Cuando en realidad quieren saber si el número tres cambia de signo como lo hizo el siete cuando pasó al miembro derecho de la ecuación.

En el proceso de enseñanza, si resolvemos paso a paso, haciendo uso de las propiedades de las ecuaciones equivalentes, tenemos:



En este caso no cabe la pregunta ¿qué pasa con el signo del coeficiente de la X?

Se pudiera, tomando como excusa el tema de la solución de ecuaciones de primer grado, abundar en ejemplos de cómo enseñar este tema con miras a que el estudiante aprenda el procedimiento correcto y se le permita crear “sus pasos” para abreviar el algoritmo de resolución de ecuaciones de primer grado.

Pero lo trascendental del ejemplo que hemos mostrado acá, no está en eso, sino en el hecho que el docente cuando enseña algún tema o tópico de matemática no debe quedarse en la transmisión de sus síntesis de aprendizaje o de “sus formas abreviadas”, sino que debe ser abundante en los detalles y extenso en los procesos que le permitan al estudiante hacer su conceptualización, para luego pasar al proceso de sintetizar o abreviar que el estudiante debe generar, en caso de que así lo amerite las necesidades del grupo.

Me gustaría conocer tu opinión sobre esta práctica y cuál es tu experiencia al abordar este tema en el aula. ¡Escríbeme!

viernes, 29 de octubre de 2010

Modelo matemático del mercado de trabajo DMP al alcance de todos o cómo matar dos pájaros de un solo tiro

por Julio Mosquera

Lamentablemente, a través de las matemáticas escolares se ha instalado en la mayoría de la gente la idea de que las matemáticas son difíciles y que sólo están al alcance de unos elegidos. Asumiendo esa idea como cierta se cometen muchos atropellos en nuestra sociedad y se justifican discriminaciones en su nombre. Tal es el caso de las pruebas de admisión a las universidades, las cuales siempre tiene un componente importante de matemáticas. El que fracasa en matemáticas es sometido a todo tipo de humillaciones y discriminaciones. Las cuales son aceptadas con normales o naturales por los que aceptan la idea antes señalada como una ley de la naturaleza humana. Nada más alejado de la realidad. Todos somos capaces de aprender matemáticas con el debido esfuerzo y disciplina, y la enseñanza adecuada. No hay camino real que nos conduzca al dominio de las formas de pensar matemáticamente. Nadie puede afirmar que aprender matemáticas, al igual que el aprendizaje de cualquier otro contenido, sea fácil. Se requiere de esfuerzo y dedicación. Eso es otra cosa, totalmente diferente a la creencia generalizada de que se nace para las matemáticas. Una vez que hemos desarrollado a un cierto nivel de razonamiento matemático, gracias al estudio y a la adecuada enseñanza, podemos comprender con mucha facilidad cómo se usan las matemáticas en diversos aspectos de la realidad. Algunos de esos usos de las matemáticas son más sencillos de lo que pensamos y de lo que algunos pésimos profesores de matemáticas nos hacen creer. En este artículo veremos uno de estos casos. Se trata del modelo DMP, los autores de este modelo fueron galardonados con el Premio Nobel de Ciencias Económicas este año.

El modelo DMP fue elaborado por Peter Diamond, Dale Mortensen y Christopher Pissarides. El nombre del modelo fue elaborado con las iniciales de los apellidos de sus autores. Ellos elaboraron un modelo matemático del mercado de trabajo que, a pesar de su simplicidad, toma en cuenta lo que se denomina como fricciones en el mercado. Es decir, a diferencia de muchos modelos matemáticos, toma en cuenta aspectos de la realidad como la dificultad de encontrar un comprador potencial cuando estamos vendiendo un producto, gastos en tiempo y dinero en la búsqueda de un empleo, y la garantía de que alguien compre un producto determinado que se ofrece en el mercado. En particular el modelo DMP incorpora variables como negociación de salarios, la dedición de las compañías de crear nuevos empleos, cuán lucrativo es un empleo para un trabajador y el flujo total del mercado de trabajo.

Veamos ahora cómo funciona el modelo en cuestión. Pensamos en el mercado como un todo. Denotamos con la letra N el número de trabajadores en el mercado, los cuales están empleados o desempleados. Consideramos ahora que todos los trabajadores empleados pierden, en el transcurrir del tiempo, sus empleos a la misma rata, lo cual es representado por una rata constante de destrucción de empleos p. Por otro lado, la rata en la que los trabajadores desempleados consiguen empelo viene dada por la función a(V/U), donde V es el número de vacantes en el mercado de trabajo y U es el número de personas empleadas en un momento determinado. Por definición, esta función depende de la razón V/U. La función a decrece en proporción directa con V/U. Es decir, a mayor número de vacantes en el mercado por trabajador desempleado, mayor facilidad de encontrar trabajo. Como señalamos al comienzo, Diamond, Mortensen y Pissarides incorporaron en su modelo las llamadas fricciones del mercado, esto quiere decir, que en el modelo DMP se toman en cuenta factores como la facilidad o la dificultad con que los empleadores encuentran trabajadores para llenar las vacantes en el mercado laboral y la facilidad con que los trabajadores encuentran empleo.

Según Diamond, Mortensen y Pissarides el mercado tiende hacia el equilibrio estableciéndose una rata constante de desempleo. Desde esta perspectiva se considera que en un cierto momento, en el mercado laboral el flujo de trabajadores del empleo al desempleo es igual al flujo de trabajadores del desempleo al empleo. El flujo de trabajadores del empleo al desempleo puede representarse por: p(N - U), donde N – U es el número de personas empleadas. Recuerde que N es el número total de trabajadores en un mercado y U es el número de trabajadores desempleados y p es la rata constante de destrucción de empleo en ese mismo mercado. Mientras que el flujo de trabajadores del desempleo al empleo lo representamos por a(V/U)U. Sí suponemos que el mercado en un momento t ha alcanzado el equilibrio, se tiene que ambos flujos son iguales, esto es:

p(N - U) = a(V/U)U

Usando el álgebra que aprendimos en bachillerato podemos hallar la rata de equilibrio del desempleo U/N, veamos.

pN - pU = a(V/U)U

pN = pU + a(V/U)U

pN = U(p + a(V/U))

p = (U/N)(p + a(V/U))

p/(p + a(V/U)) = U/N

En esta fórmula podemos apreciar que la rata de equilibrio del desempleo, U/N, depende de la rata de destrucción del empleo p y la rata en que se encuentra un empleo a. Asumiendo que la rata a refleja fricciones en el mercado, se tiene entonces que esas fricciones afectan la rata de equilibrio del desempleo. A partir de esa fórmula podemos elabora una gráfica de la rata de desempleo respecto a la rata de vacantes en el mercado, manteniendo a p y a fijos. Eso lo dejamos como tarea a lector o lectora. Esa curva recibe el nombre de curva de Beveridge.

Hemos visto un modelo matemático sencillo que nos sirve para comprender mejor como funciona el mercado de trabajo en una economía capitalista. Para comprender cómo funciona el modelo es necesario manejar algunas ideas básicas de matemáticas que se estudian en el bachillerato. Lamentablemente son muy pocos los profesores de matemáticas que recurren a ejemplos como estos para mostrarlos a sus estudiantes. Ejemplos como éste nos muestran el poder y la sencillez de las matemáticas, lo cual podemos resumir en una sola palabra: belleza. Por otro lado, podemos aprovechar la oportunidad para discutir acerca del funcionamiento del capitalismo y sus efectos en los seres humanos. Sobre cómo es imposible mejorar al ser humano y sus condiciones de vida en el marco del capitalismo. De esta manera podemos matar dos pájaros de un solo tiro en las clases de matemáticas.

Bibliografía

FREIBERGER, Marianne (2010). And the Noble Prize goes to … Plus Magazing. Disponible en: http://plus.maths.4rg/content/and-nobel-prize-mathematics-goes&src=fpii

julio_mosquera@hotmail.com

Twitter: @mosqueraj


Tomado de: http://www.aporrea.org/actualidad/a111225.html

sábado, 23 de octubre de 2010

Los Incas y el uso de las matemáticas en asuntos de gobierno

Autor: Julio Mosquera

Fecha de publicación: 03/10/10

En la escuela y en los medios de comunicación, se suele enseñar que los pueblos que habitaban estas tierras antes de la llegada de los invasores europeos eran unos salvajes. Fue el invasor español quien trajo la civilización a Nuestra América según el pensamiento dominante. Esas ideas forman parte de las ideas de la clase dominante y son usadas para perpetuar su dominio. Sin embargo, sabemos que los invasores españoles se encontraron en estas tierras con civilizaciones en algunos casos más avanzadas que la mayoría de los pueblos de Europa. Una de esas civilizaciones fue la de los Inca, que se desarrolló en territorios que hoy forman parte de Bolivia y Perú. En este artículo nos ocuparemos del uso de las matemáticas en asuntos de gobierno.

En el caso de los incas, contamos con los relatos escritos por Inca Garcilaso de la Vega. Nos referimos específicamente a los “Cometarios Reales”, publicados en dos tomos por la Biblioteca Ayacucho. Ambos libros están disponibles gratis en forma digital en la página web: http://www.bibliotecayacucho.gob.ve/fba/index.php?id=103. En estos “Comentarios” encontramos diversas referencias al desarrollo científico de los incas, a las matemáticas y su uso en la organización y administración del Imperio Inca. Los incas llevaban registros complicados de estadísticas en instrumentos llamados “quipus” y hacían cálculos en una especie de ábaco que llamaron “yupana”. Los “quipus” eran artefactos elaborados con cuerdas, de una estructura compleja y donde la información numérica se registraba con combinaciones de tres tipos diferentes de nudos. Se especula que los incas usaban un sistema de numeración de base 10, hay varias evidencias que soportan esa hipótesis. Una de ellas es la manera de organización social que inventaron los incas. Veamos la descripción que nos ofrece Garcilaso de la Vega:

“Para principio y fundamente de su gobierno inventaron los Incas una ley, con la cual les pareció podrían prevenir y atajar los males que en sus reinos pudiesen nacer. Para lo cual mandaron que en todos los pueblos grandes o chicos de su Imperio se registrasen los vecinos por decurías de diez en diez, y que uno de ellos que nombraban por decurión, tuviese cargo de los nueve. Cinco decurías de éstas de a diez tenían otro decurión superior, el cual tenía a cargo a los cincuenta. Dos decurías de a cincuenta tenían otro superior, que miraba por los ciento. Cinco decurías de a ciento estaban sujetas a otro capitán decurión, que cuidaba de los quinientos. Dos compañías de a quinientos reconocían un general, que tenía dominio sobre los mil; y no pasaban las decurías de mil vecinos, porque decían que para que uno diese buena cuenta bastaba encomendarle mil hombres. De manera que había decurías de a diez, de a cincuenta, de a ciento, de a quinientos, de a mil, con sus decuriones o cabos de escuadra subordinados unos a otros, de menores a mayores, hasta el último y más principal decurión que llamamos general.” (p. 84)

También usaban los incas los números en sus juegos, como dice Garcilaso de la Vega:

“… todos [los juegos] se cuentan por números; y porque los números van a parar al deceno [sic], tomaron el número diez por el juego, y para decir juguemos dicen “chuncásum”, …” (p. 90)

Como vemos el número diez y sus múltiplos aparecen en importantes actividades humanas entre los incas. De allí son internalizados y abstraídos para formar un sistema de numeración, de registro de datos de manera sistemática según un patrón.

Nos interesa, como señalamos en el título, el uso de las matemáticas en asuntos de gobierno. Volviendo a los decuriones, encontramos que éstos tenían entre sus funciones:

“… dar cuenta a sus superiores, de grado en grado, de los que morían y nacían cada mes de ambos sexos, y por consiguiente, al fin de cada año, se la daba al Rey de los que habían muerto y nacido aquel año y de los que habían ido a la guerra y muerto en ella. …” (p. 89)

Los incas también usaron la geometría de la cual: “… supieron mucho porque les fue necesario para medir sus tierras, para las ajustar y partir entre ellos,…” como nos enseña Garcilaso de la Vega. Y sabían mucho de aritmética,

“… que por nudos dados en unos hilos de diversos colores daban cuenta de todo lo que en el reino del Inca había de tributos y contribuciones por cargo y descargo. Sumaban, restaban y multiplicaban por aquellos nudos, y, para saber lo que cabía a cada pueblo, hacían las particiones con granos de maíz y piedrezuelas, de manera que les salía cierta su cuenta. Y como para cada cosa de paz o de guerra, de vasallos, de tributos, ganados, leyes, ceremonias y todo lo demás que se daba cuenta, tuviesen contadores de por sí y éstos estudiasen en sus ministerios y en sus cuentas, las daban con facilidad, porque la cuenta de cada cosa de aquéllas estaba en hilos y madejas de por sí como cuadernos sueltos…” (p. 112)

Tenemos así que los incas desarrollaron diversos aspectos de las matemáticas. El desarrollo de las matemáticas incas, al igual que en cualquier otra civilización, respondía al desarrollo de las condiciones objetivas de esa civilización, en lo político, económico, social, etc. Los invasores españoles se encontraron con civilizaciones altamente organizadas que le ofrecieron resistencia. Los invasores destruyeron físicamente a los incas y a sus artefactos, por ejemplo: destruyeron todos los “quipus” que encontraron. La dominación no se limitó a lo económico y político, se extendió a la cultura. Ese proceso de dominación no se ha detenido. Comencé señalando que en la escuela y en la mayoría de los medios de comunicación todavía permanecen elementos que contribuyen a ese proceso. Desde las clases de historia y matemáticas podemos contrarrestarlo. Aquí ofrezco algunos elementos que pueden ser usados en esas clases para enseñarle a nuestros estudiantes que en estas tierras se ha hecho matemáticas ante de la llegada de los europeos y que se usaban las matemáticas en asuntos de gobierno, incluso antes que en Europa. Las fuentes de información están disponibles gracias a las políticas culturales del Gobierno Bolivariano. Esas fuentes deben ser usadas por los y las docentes para contrarrestar las visiones al servicio de la clase dominante y del imperialismo cultural. Tenemos que mostrarles a nuestros estudiantes que hemos sido capaces de producir de manera independiente las matemáticas que hemos necesitado de acuerdo a nuestro desarrollo económico antes de la llegada de los invasores españoles. Por tanto, todos somos capaces de aprender y hacer matemáticas actualmente como los fueron nuestros antepasados.

julio_mosquera@hotmail.com

Twiter: @mosqueraj

tomado de: http://www.aporrea.org/actualidad/a109431.html

domingo, 17 de octubre de 2010

Aprendiendo el algoritmo de la adición

En la elaboración del currículo de Matemática participa mucha gente, no toda especialista en el área de la educación matemática. Opinan muchas personas y para gran parte de éstas las matemáticas son sólo cuentas y números. Es decir, dominar la matemática, para ellos, es saber “sacar las cuentas”.


Soterradamente, esa misma sociedad promueve el uso de tecnologías que han hecho desaparecer el problema de “sacar las cuentas”. En automercados y abastos, en bancos, tiendas, hasta el vendedor ambulante tiene resuelto el problema de “sacar las cuentas”.

Los Educadores Matemáticos no hemos logrado que la sociedad se observe y acepte que la matemática de sólo “sacar las cuentas” es cosa del pasado y por eso miles de profesores y maestros siguen centrando su acción docente en el área de la matemática en que el niño y el joven sepan sacar las cuentas, sepan hallar la suma y la resta, que puedan calcular la multiplicación y la división, potenciación y radicación, etc. Incluso, se llega a venerar y exigir que se saquen las cuentas sin usar los dedos, las calculadoras parecieran no existir.

Pese al esfuerzo, pese a la presión social silenciosa, los egresados, a distintos niveles, de nuestro sistema educativo siguen siendo deficientes en el área de matemáticas [“en sacar las cuentas”], esto en opinión de los evaluadores y seleccionadores en los ámbitos empresariales y universitarios.

El problema se centra en la ausencia de conocimientos detectada o la falta de pericia en las cuentas. Pocos dicen que el problema está en la matemática que enseñamos y en la forma que se enseña.

Por eso quiero relatar acá un caso particular que nos enseña que si nuestros docentes se proponen hacer de la matemática un campo para la formación crítica, indagatoria y especulativa, contribuiríamos a que nuestros niños y jóvenes sean perspicaces, curiosos y creativos.

Veamos pues, un martes 30 de marzo de un año reciente, a eso de las 7:45 de la mañana, observaba a una maestra enseñar a unas niñas y niños de primer grado el algoritmo de la adición, luego de resolver un ejercicio para recordar, le pidió a un niño que pasara a la pizarra a resolver el siguiente ejercicio:

2

5

1

7

+

El pequeño aprendiz procedió a hallar la suma de 5 más 7 y escribió:

2

5

1

7

+

1

2

De inmediato la maestra le señaló que el 1 no se escribe ahí, le borró el uno y lo colocó:

1

2

5

1

7

+

2

La cara del niño era un poema, sin embargo, aceptó y siguió resolviendo el ejercicio hasta obtener el resultado deseado por la maestra:

1

2

5

1

7

+

4

2

Al salir de ahí, pensando sobre lo acontecido, me preguntaba sobre las diversas formas que hay para hallar la suma de dos números cuando hay acarreo.

Todas pueden ser exploradas por los niños con el uso del cartel de valores, ya que el dominio de la adición con acarreo va acompañado del dominio de la notación posicional de nuestro sistema de numeración.

Y pensé que la adición se pudiera hacer procediendo de la siguiente manera:

2

5

1

7

+

1

2

3

+

4

2

O pudiéramos también proceder de otra manera:

2

5

1

7

+

3

1

2

+

4

2

En vez de hallar la suma comenzando, como hacen todos, por los dígitos de las unidades, comenzar por hallar la suma de los dígitos de las decenas.

¿Enreda esto a los niños o les abre un mundo de posibilidades y comprensiones, más allá de la adquisición de un único y súper aceptado algoritmo?


Soy todo oído. Espero sus reflexiones.